Question

如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC； (2)求证：平面ABC⊥平面APC.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需在平面内找一条 直线与之平行，由已知得是的中位线，所以，进而证明平面；（2）要证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的一条垂线即可，由等边三角形及为的中点，则，进而说明，进而说明平面，则有，又由已知可证平面，进而证明结论.

试题解析：(1)由已知，得是的中位线，所以，又平面，平面，故平面.

(2)因为为正三角形，为的中点，所以.所以.又

所以平面.因为平面，所以.又 所以平面.因为平面，所以平面⊥平面.

考点：1、直线和平面平行的判定；2、直线和平面垂直的判定和性质；3、面面垂直的判定.