Question

已知函数（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行。

（1）求k的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，。

Answer

（1）；(2)单调递增区间为，单调递减区间为;(3)详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义得，列方程求；（2）求的解集和定义域求交集，得单调递增区间；求的解集并和定义域求交集，得单调递减区间，该题，可观察当时，；时，.所以单调区间可求；（3）思路一：考虑的最大值，证明最大值小于即可，但是考虑到解析式的复杂性，可对不等式等价变形；思路二：原不等式等价于

，记，利用导数可求其最大值为，从图象可以判断的图象在直线的上方，也就是说恒成立，故，所以命题得证.

试题解析：(Ⅰ)由得由于曲线在处的切线与x轴平行，所以，因此

（Ⅱ）由(Ⅰ)得，令当时，；当时，又，所以时，；时，.  因此的单调递增区间为（0,1），单调递减区间

(Ⅲ)证明因为，所以因此对任意等价于  由（Ⅱ）知

所以因此当时，单调递增；当时单调递增. 所以的最大值为  故 设因为，所以时，单调递增，

故时，即所以因此对任意

考点：1、导数的几何意义；2、导数 在单调性上的应用；3、利用导数求函数的最值.