Question

已知函数（其中为常数）.

（I）当时，求函数的最值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性.

Answer

（I）当时，函数的最小值为，无最大值；（Ⅱ）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增．

【解析】

试题分析：（I）由已知条件，写出当时，函数的解析式，先求函数的定义域，再求函数的导数，令和，分别求出函数的单调增区间和单调减区间，最后可求得函数的最值；（Ⅱ）先求出函数的导数：，再观察发现，当时，恒成立，在区间上单调递增．当时，由，得，解这个方程，讨论可得函数的单调性．

试题解析：（I）的定义域为，当时，， ．                           2分

由，得，由，得，在区间上单调递减，

在区间上单调递增，故当时，取最小值，

无最大值.                                           4分

（Ⅱ）．                  5分

当时，恒成立，在区间上单调递增；               6分

当时，由得，解得，．      7分

当时，，由得，

在区间上单调递减，

在区间和上单调递增                    9分

当时，，由得，在区间上单调递减；在区间上单调递增．

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增．   13分

考点：1．应用导数求函数的最值；2．函数导数与函数的单调性．