Question

已知二次函数与交于两点且，奇函数，当时，与都在取到最小值．

（1）求的解析式；

（2）若与图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知是奇函数，故，从而得，所以，又当时，在取到最小值，由均值不等式等号成立的条件可得，即．再由已知及弦长公式，得，解方程组便得的值，从而得函数和的解析式；（2）由已知，与，即有两个不等的实根，将问题转化为方程有两个不等的实根，即一元二次方程根的分布问题，列不等式组解决问题．

试题解析：（1）因为是奇函数，由得，所以，由于时，有最小值，所以，则，当且仅当：取到最小值，所以，即．

设，，则．由得：，所以：，解得：，所以         6分

（2）因为与，即有两个不等的实根，也即方程有两个不等的实根．

当时，有，解得；当时，有，无解．

综上所述，．                                 13分

考点：1．函数的最值；2．函数的奇偶性；3．弦长公式；4．一元二次方程根的分布问题．