Question

已知偶函数满足：当时，，当时，．

(Ⅰ)求表达式；

(Ⅱ)若直线与函数的图像恰有两个公共点，求实数的取值范围；

(Ⅲ)试讨论当实数满足什么条件时，直线的图像恰有个公共点，且这个公共点均匀分布在直线上．（不要求过程）

Answer

(Ⅰ)．;(Ⅱ)．  (Ⅲ)．当时，或

当时，  此时; 当时，，或

当时此时．

【解析】

试题分析：（1）由为偶函数，则有，又因为当，及，，所以当时，，即可求出 ．当时，同理可求出此时的．（2）画出的大致图像，由图1易知，当时，函数与恰有两个交点，所以当时，函数与无交点，易得当时恒成立，当时，则有，即可求出．

当，时，函数的图像如图2所示，此时直线的图像若恰有个公共点，且这个公共点均匀分布在直线上，则易知时符合题意，设时由左到右的两个交点的横坐标分别为，由函数的对称性易知，，此时．其他情况同理即可求出．

                   图1                              图2

试题解析：（1）为偶函数，则有．

当时，，即

当时，，，即，故有

（2）如下图，当时，由图像易知函数与恰有两个交点，当时，函数与无交点．由，．

当时，此时符合题意；

当时，由，即，可得．由偶函数的对称性可知时，与时的情况相同．

故综上：

（3）当时，或；

当时，  此时；

当时，，或；

当时此时．

考点：1．函数的奇偶性 2．分段函数解析式的求解 3．二次函数的图像．