Question

设函数.

若是函数的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求.

若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）对零点存在性定理的考查，借助是极值及1是零点建立两个方程解出和，然后对函数进行求导定出其单调性，再利用零点存在性定理尝试算出和，发现异号，得出零点所在的区间；（2）首先需要我们将两个变量的不等式恒成立问题转化成常见的一个变量的不等式有解问题，然后再构造这个不等式为函数，为了找的最小值并且让其小于0，我们利用试根法试出，然后只要让右零点在端点1右边即可，解出范围.

试题解析：(1)，∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，由解得. ∴,，

令，，得；   令得，所以在上单调递减；在上单调递增.故函数至多有两个零点，其中，因为，，，所以，故．

(2)令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，令，只需存在使得即可，=，令，∵的两个零点分布在左右，又∵，∴的右零点必须大于1，∴，解得.综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立.

考点：1.零点存在性定理；2.根的分布.