Question

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

Answer

（1）；（2）当时，即时取得最大值1000万元.

【解析】

试题分析：

对于有关利润的题目，要注意总销售额、成本，利润=总销售额-总成本，在题目中，如果含有的范围有几段，则要分论，函数写成分段函数形式；则由题知每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，在时，年利润；在，年利润，整理好结果用分段函数表示；（2）求利润最大，即是求函数的最大值，由于是分段函数，则分别求出每段函数的最大值，最终比较两段最大中的较大者，即是函数最大；由（1）可求则在时用二次函数的方法求最大，注意的范围，在中，利用均值不等式求出，注意等号成立的条件.

试题解析：（1）由题知每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，

当时，年利润；

当，年利润

则

（2）当时，

此时，当时，取得最大值万元.                     

当时，

当时，即时取得最大值1000万元.

所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. 

考点：1.函数的实际应用，2.分段函数的解析式的求法，3.分段函数最大值的求解.