Question

设函数，其中.

（1）若，求在的最小值；

（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

Answer

（1）；（2）；(3)存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

【解析】

试题分析：(1) 由题意易知，()得（舍去）

所以当时，单调递减；当时，单调递增，则；

（2）由在定义域内既有极大值又有极小值可转化为的导函数在有两个不等实根，即在有两个不等实根，可求出的范围.

(3) 由不等式，令即可构造函数，再利用导数证明在即可.

试题解析：（1）由题意知，的定义域为，当时，由，得（舍去），当时，，当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增，

∴．

（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，又对称轴，则，解之得．

（3）对于函数，令函数，则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立.取，则有恒成立.显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

考点：1.利用导数求函数最值 2.利用导数求参数范围 3.构造函数证明不等式恒成立