Question

已知函数．

（I）求函数的单调递减区间；

（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（III）过点作函数图像的切线，求切线方程

Answer

（I）;(II） ;(III）.

【解析】

试题分析：（I）本题函数式是一个乘积的形式.求函数的单调递减区间，令导函数小于零，可求得x的范围，本小题两个知识点要注意.首先是定义域x>0;其次是含对数的不等式的解法.（II）关于恒成立的问题通过整理后用分离变量较好，最小值在的定义域上，通过求导可知函数的单调性即可求出函数g(x)的最大值.本小题涉及对数函数的求导和分式函数的求导，要认真对待.（III）求函数的切线，首先判断该点有没有在函数图像上.通过分析A点不在函数图像上.通过假设切点的坐标.求出在切点的切线的斜率，通过A点和切点再算一次斜率即可得一个等式.通过研究该等式的解的情况即可得切线的方程.本小题要具备估算的能力.含对数的函数要关注定义域的范围，通过求导了解函数的图像的走向是解题的关键. 

试题解析：（Ⅰ）得                          2分

函数的单调递减区间是；                  4分

（Ⅱ）即

设则            6分

当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增；

最小值实数的取值范围是；  7分

（Ⅲ）设切点则即

设，当时是单调递增函数  10分

最多只有一个根，又

由得切线方程是.                        12分

考点：1.通过求导数求函数的单调区间.2.函数的恒成立问题.3.函数的切线方程