Question

已知，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设直线与、均相切，切点分别为（）、（），且，求证：.

Answer

(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)先构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系；再构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系.从而证得“”；(Ⅲ)先求出以及，根据导数与切线方程的关系，由斜率不变得到，再根据两点间的斜率公式得到.首先由指数函数的性质可得，那么，然后由得到，解得.

试题解析：（Ⅰ）令，.           1分

令，解得.

当时，；当，时.

∴当时，，

∴.                                             3分

令，.            4分

令，解得.

当时，；当时，.

∴当时，，

∴，                                     6分

∴.                                   7分

（Ⅲ），，切点的坐标分别为，可得方程组：

         11分

∵，

∴，∴，

∴.                             12分

由②得，，∴，          13分

∵，∴，∴，即，

∴.                     14分

考点：1.分类讨论思想；2.函数的单调性与导数的关系；3.对数函数的性质；4.指数函数的性质；5.利用导数研究曲线的切线方程