Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若在定义域内无极值，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ) ，；(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)先写出时的函数解析式以及定义域：，对函数求导并且求得函数的零点，结合导数的正负判断函数在零点所分的各个区间上的单调性，从而得到函数的极值点，求得极值点对应的函数值即可；(Ⅱ)先求出函数的导数，将问题“在定义域内无极值”转化为“或在定义域上恒成立”，那么设分两种情况进行讨论，分别为方程无解时，以及方程有解时保证，即成立，解不等式及不等式组，求两种情况下解的并集.

试题解析：（Ⅰ）已知，∴，     1分

 ，            2分

令，解得或.             3分

当时，；

当时，.                    4分

，                    5分

∴取得极小值2，极大值.        6分

（Ⅱ），

，      7分

在定义域内无极值，即或在定义域上恒成立.     9分

设，根据图象可得：

或，解得.           11分

∴实数的取值范围为.              12分

考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.利用导数研究函数的极值；3.解不等式；4.二次函数的图像与性质；5.不等式恒成立问题