Question

已知，为其反函数.

（Ⅰ）说明函数与图象的关系（只写出结论即可）；

（Ⅱ）证明的图象恒在的图象的上方；

（Ⅲ）设直线与、均相切，切点分别为（）、（），且，求证：.

Answer

(Ⅰ) 关于直线对称；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)原函数与其反函数的图像关于直线对称；(Ⅱ)先求出反函数的解析式：，引入中间函数.先构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系；再构造函数，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是，找到关系.从而证得“的图象恒在的图象的上方”；(Ⅲ)先求出以及，根据导数与切线方程的关系，由斜率不变得到，再根据两点间的斜率公式得到.首先由指数函数的性质可得，那么，然后由得到，解得.

试题解析：（Ⅰ）与的图象关于直线对称.    2分

（Ⅱ），设，               4分

令，，

令，解得，

当时，当时；

∴当时，，

∴.                                  6分

令，，

令，解得；

当时，，当时，，

∴当时，，

∴.                             8分

∴的图象恒在的图象的上方.            9分

（Ⅲ），，切点的坐标分别为，可得方程组：

 11分

∵，

∴，∴，

∴.                      12分

由②得，，∴，   13分

∵，∴，∴，即，

∴.              14分

考点：1.反函数；2.函数的单调性与导数的关系；3.对数函数的性质；4.指数函数的性质；5.利用导数研究曲线的切线方程