Question

已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.

（Ⅰ）若，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知椭圆的半焦距，又，根据离心率的定义得，则，所以，从而得出所求椭圆的方程为.

（2）根据题意可设点、的坐标分别为、，联立直线方程与椭圆方程，消去得，则，，因为原点在圆上，所以，根据三角形中位线性质可知四边形为矩形，所以，又，所以，，因此，即，从而可整理得，又因为，所以，即，从而，所以，因此，解得.（如图所示）

试题解析：（Ⅰ）由题意得，得.                             2分

结合，解得，.                          3分

所以，椭圆的方程为.                                 4分

（Ⅱ）由 得.

设.

所以，                                6分

依题意，，

易知，四边形为平行四边形，

所以，                                               7分

因为，，

所以.         8分

即 ，                                  9分

将其整理为 .                10分

因为，所以，.           11分

所以，即.                      13分

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆；3.向量.