Question

已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（2）单调递增区间是和，单调递减区间是；（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由函数，得，又由曲线在和处的切线互相平行，则两切线的斜率相等地，即，因此可以得到关于的等式，从而可求出.

（Ⅱ）由，令，则，，因此需要对与0，，2比较进行分类讨论：①当时，在区间上有，在区间上有；②当时，在区间和上有，在区间上有；③当时，有；④当时，区间和上有，在区间上有，综上得的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（Ⅲ）由题意可知，在区间上有函数的最大值小于的最大值成立，又函数在上的最大值，由（Ⅱ）知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故；②当时，在上单调递增，在上单调递减，，由可知，，，所以，，；综上所述，所求的范围为.

试题解析：.                                  2分

（Ⅰ），解得.                                     3分

（Ⅱ）.                                 5分

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.           6分

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.      7分

③当时，， 故的单调递增区间是.     8分

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.      9分

（Ⅲ）由已知，在上有.                     10分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故.      11分

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，                              13分

综上所述，.                                           14分

考点：1.导数；2.函数的单调性、最值.