Question

如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(I)求三棱锥E—PAD的体积；

(II)试问当点E在BC的何处时，有EF//平面PAC；

(1lI)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的长即为三棱锥的高，而三棱锥的体积等于的体积，计算即得.

（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．

利用三角形中位线定理，得到，进一步得出∥平面．

（Ⅲ）证明：根据等腰三角形得出，根据平面，平面，

得到 ，又因为 且，⊂平面，得到平面，又平面，．

再根据，平面，及平面，根据，作出结论.

试题解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的长即为三棱锥的高，三棱锥的体积等于的体积

= = ．

（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．

∵在中，分别为的中点，连结

，又平面，而平面，

∴∥平面．

（Ⅲ）证明：因为，所以等腰三角形中，

∵平面，平面，

∴ 

又因为 且，⊂平面，

∴平面，又平面，

∴．

又∵，

∴平面．PB，BE⊂平面PBE，

∵平面，

∴，即无论点E在边的何处，都有．

考点：几何体的体积，垂直关系，平行关系.