Question

已知椭圆C：的两个焦点是F₁(c,0)，F₂(c，0)(c>0)。

(I)若直线与椭圆C有公共点，求的取值范围；

(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值时，椭圆的方程；

(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足    且，其中N为椭圆的下顶点，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer

(I) .（II）.（III）直线纵截距的范围是.

【解析】

试题分析：(I)由题意联立方程组

由得，

根据，即可得到的取值范围是.

（II）由椭圆的定义得,

及，得到当时，有最小值，确定得到椭圆的方程的方程.

（III）设直线方程为，

通过联立 ,整理得到一元二次方程，设，

应用韦达定理，结合得为的中点， ，得到，可建立的方程， 从而由得到使问题得解.

试题解析：(I)由题意知.

由得，

所以，解得，

所以求的取值范围是.

（II）由椭圆的定义得,

因为，所以当时，有最小值，

此时椭圆的方程的方程为.

（III）设直线方程为，

由整理得，

化简得

设

则

由得为的中点，所以

因为，所以

即，化简得

又，

所以

又，所以

.

考点：椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的位置关系.