Question

设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.

（1）若，，求数列的通项公式；

（2）记，，且、、成等比数列，证明:.

Answer

（1）或；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用等差数列的性质得到，结合题中的已知条件将、等价转化为一元二次方程的两根，从而求出和，最终确定等差数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式（利用和表示），然后通过“、、成等比数列”这一条件确定和的之间的等量关系，进而将的表达式进一步化简，然后再代数验证.

试题解析：（1）因为是等差数列，由性质知，

所以、是方程的两个实数根，解得，，

，，，或，，，，

即或；

（2）证明：由题意知∴，∴.

、、成等比数列，∴ ∴，

    ∵   ∴  ∴，

∴，

∴左边   右边，

∴左边右边∴成立.

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列求和；3.等比中项的性质