Question

新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.

（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.

（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

①；     ②

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中的条件对函数的基本要求转化为数学语言；（2）对题中的两个函数是否满足（1）中的三个限制条件进行验证，对于函数上述两个函数是否满足题中的条件，主要是研究函数的单调性与最值以及恒成立问题，可以利用基本函数的单调性以及利用导数来进行求解.

试题解析：（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：

当时，

①是增函数；②恒成立；③恒成立；

（2）①对于函数模型：当时，是增函数，

则显然恒成立；

而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，

∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求.

②对于函数模型：

当时，是增函数，则．∴恒成立．

设，则.

当时，，

所以在上是减函数，

从而.

∴，即，∴恒成立．

故该函数模型符合公司要求．

考点：1.函数的单调性；2.函数不等式