Question

设函数.

（1）当，时，求函数的最大值；

（2）令，其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；

（3）当，，时，方程有唯一实数解，求的值.

Answer

（1）函数的最大值为；（2）实数的取值范围是；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将，代入函数的解析式，然后利用导数求出函数的最大值；（2）先确定函数的解析式，并求出函数的导数，然后利用导数的几何意义将问题转化为，利用恒成立的思想进行求解；（3）将，代入函数的解析式并确定函数的解析式，构造新函数，利用导数求出函数的极值，利用极值为零来求出参数的值.

试题解析：（1）依题意，的定义域为，

当，时，，，

由 ，得，解得；

由 ，得，解得或.

，在单调递增，在单调递减；

所以的极大值为，此即为最大值；

（2），，则有在上有解，

∴，

，

所以当时，取得最小值，；

（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则，

，，所以由得，

由得，所以在上单调递增，

在上单调递减，.

若有唯一实数解，则必有

，

所以当时，方程有唯一实数解.

考点：1.利用导数求函数的最值；2.函数不等式恒成立；3.参数分离法；4.函数的零点