Question

已知函数，其中实数a为常数．

(I)当a=-l时，确定的单调区间：

(II)若f(x)在区间（e为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a的值；

(Ⅲ)当a=-1时，证明．

Answer

(Ⅰ) 在区间上为增函数，在区间上为减函数.(Ⅱ). (Ⅲ) 见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)通过求导数，时， 时，，单调函数的单调区间.

(Ⅱ)遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定端点函数值，比较大小”等步骤，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情况加以讨论.

(Ⅲ) 根据函数结构特点，令，利用“导数法”，研究有最大值，根据, 得证.

试题解析：(Ⅰ)当时，,∴，又,所以

当时， 在区间上为增函数，

当时，，在区间上为减函数，

即在区间上为增函数，在区间上为减函数.    4分

(Ⅱ)∵，①若，∵,则在区间上恒成立，

在区间上为增函数，，∴，舍去;

②当时，∵，∴在区间上为增函数，

，∴，舍去;

③若，当时，在区间上为增函数，

当时， ，在区间上为减函数，

，∴.

综上.                                    9分

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当时，有最大值，最大值为，即，

所以，                              10分

令，则，

当时，，在区间上为增函数，

当时，，在区间上为减函数，

所以当时，有最大值，12分

所以,

即.                            13分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式.