Question

已知函数，函数．

(I)试求f(x)的单调区间。

(II)若f(x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：

(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，求证：当时，.

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间是；的单调递减区间是；

（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 利用导数值非负，得的单调递增区间是；利用导数值非正，得到的单调递减区间是；

（Ⅱ）利用在是单调递增函数，则恒成立，只需恒成立，转化成

，利用，得到.

（Ⅲ）依题意不难得到，=1+++，

根据时， =+在上为增函数，

可得，从而;

构造函数，利用“导数法”得到, 从而不等式成立.

应用“累加法”证得不等式.

本题解答思路比较明确，考查方法较多，是一道相当典型的题目.

试题解析：（Ⅰ）=，所以，,

因为，，所以，令，，

所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；4分

（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立

即，因为，所以故.                .7分

（Ⅲ）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，=1+++，

当时，由（Ⅱ）知：=+在上为增函数，

=-1，当时，，所以+，即

所以;

令，则有，当，有

则,即,所以时,

所以不等式成立.

令且时，

将所得各不等式相加，得

即

（且）．                   13分

考点：应用导数研究函数的单调性，等差数列的通项公式，“累加法”.