Question

设函数，其中a为正实数．

(l)若x=0是函数的极值点，讨论函数的单调性；

(2)若在上无最小值，且在上是单调增函数，求a的取值范

围；并由此判断曲线与曲线在交点个数．

Answer

(1) 增区间为，减区间为；(2) ；0.

【解析】

试题分析：(1)先求出，根据已知“是函数的极值点”，得到，解得，将其代入，求得，结合函数的定义域，利用导数求函数的单调区间；(2)先研究函数在区间没有极小值的情况：，当时，在区间上先减后增，有最小值；当时，在区间上是单调递增的，没有最小值.再研究函数在区间上是单调增函数：在上恒成立，解得.综合两种情况得到的取值范围.根据可知，利用导数研究函数的单调性，得到在区间上的最小值是，与的取值范围矛盾，所以两曲线在区间上没有交点.

试题解析：(1) 由得，                      2分

的定义域为：，                                       3分

 ，函数的增区间为，减区间为.       5分

（2），   

若则在上有最小值，

当时，在单调递增无最小值.               7分

∵在上是单调增函数∴在上恒成立，

∴.                                        9分

综上所述的取值范围为.                      10分

此时，

即,

则 h(x)在 单减，单增，                13分

极小值为. 故两曲线没有公共点.                   14分

考点：1.函数求导；2.函数的单调性与导数的关系；3.解不等式；4.不等式的恒成立问题；5.方程的根与函数的零点的关系