Question

已知椭圆C:的离心率为,长轴长为.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer

（I）.（II）存在点满足.

【解析】

试题分析：（I）利用椭圆的几何性质得.

（II）通过研究时，可知满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.

证明就是满足条件的定点.

将直线方程与椭圆方程联立并整理，应用韦达定理，将用坐标表示，根据

得到使的点.

试题解析：（I）由题意得，              2分

解得                3分

椭圆的方程为.                4分

（II）当时，直线与椭圆交于两点的坐标分别为，

设y轴上一点,满足, 即，

∴解得或（舍），

则可知满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.        6分

下面证明就是满足条件的定点.

 设直线交椭圆于点,.

由题意联立方程        8分

由韦达定理得，             9分

∴

            11分

∴ ，即在y轴正半轴上存在定点满足条件.       12分

解法2：

设y轴上一点,满足, 即，        5分

设直线交椭圆于点, .

由题意联立方程        7分

由韦达定理得，             8分

∴

           10分

整理得，

由对任意k都成立，得

且

解得                                    11分

所以存在点满足.                 12分

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算.