Question

已知函数是奇函数．

(1)求m的值：

(2)设．若函数与的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．

Answer

（1）.  （2）.

【解析】

试题分析：（（1）由函数是奇函数可知：， 即得.

（2）根据函数与的图象至少有一个公共点，转化得到方程至少有一个实根.即方程至少有一个实根 ，令，则方程至少有一个正根.

接下来可有两种思路，一是通过分离参数，应用基本不等式；二是利用二次函数知识.

试题解析：（1）由函数是奇函数可知：，           2分

解得.                                             4分

（2）函数与的图象至少有一个公共点

即方程至少有一个实根                           6分

即方程至少有一个实根                         8分

令，则方程至少有一个正根

方法一：由于

∴a的取值范围为.                         12分

方法二：令，由于，所以只须，

解得.

∴a的取值范围为.

考点：函数的奇偶性，指数函数的性质，二次函数的性质，基本不等式.