Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AD＝１,AA₁＝AB＝２．点E是线段AB上的动点,点M为D₁C的中点．

(1)当E点是AB中点时,求证：直线ME‖平面ADD₁ A₁；

(2)若二面角AD₁ＥＣ的余弦值为．求线段AE的长．

Answer

（1）证明：见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明：取的中点N，连结MN、AN、，由三角形中位线定理得到

MN∥，AE∥，所以四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN，即得证.

（2）利用空间向量.

设，建立空间直角坐标系，将问题转化成计算平面的“法向量”夹角的余弦，建立的方程.

试题解析：（（1）证明：取的中点N，连结MN、AN、，           1分

MN∥，AE∥，                         3分

四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN          4分

∥平面.                                   6分

（2）设，如图建立空间直角坐标系         7分

，

平面的法向量为，由 及得                  9分

平面的法向量为，由 及得                    11分

，即，解得

所以                                                  12分

考点：直线与平面平行的判定，二面角，距离的计算，空间向量的应用.