Question

已知椭圆经过点,离心率为．

(1)求椭圆C的方程：

(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k₁,k₂,当k₁·k₂最大时,求直线l的方程．

Answer

(1) .(2) .

【解析】

试题分析：(1) 由已知建立方程组  ①   ②， 即得解.

 (2)两种思路，一是讨论①当直线的斜率为0，②当直线的斜率不为0的情况；二是讨论①当直线垂直于x轴，②当直线与x轴不垂直的情况.两种情况的不同之处在于，直线方程的灵活设出.

第一种思路可设直线的方程为, 第二种思路可设直线的方程为.两种思路下，都需要联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程.

本题是一道相当典型的题目.

试题解析：(1) 由已知可得，所以     ①                1分

又点在椭圆上，所以     ②                2分

由①②解之，得.

故椭圆的方程为.                                    4分

(2)解法一：①当直线的斜率为0时,则;        5分

②当直线的斜率不为0时,设,,直线的方程为,

将代入,整理得.        7分

则,                                  9分

又,,

所以, 

                                  11分

令,则

当时即时，；

当时，

 或

当且仅当,即时, 取得最大值.                13分

由①②得,直线的方程为.                   14分

解法二：①当直线垂直于x轴时,则;

②当直线与x轴不垂直时,设,,直线的方程为,

将代入,整理得.

则

又,,

所以,  

令由得或

所以当且仅当时最大，所以直线的方程为.

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线方程，基本不等式，应用导数研究函数的最值.