Question

在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．

(1)求证：B₁D₁∥平面A₁BD；

(2)求证：MD⊥AC；

(3)试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

Answer

(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.

【解析】

试题分析：(1)由直四棱柱概念，得BB1//DD1，

得到四边形BB1D1D是平行四边形，从而B1D1∥BD，由直线与平面平行的判定定理即得证.

(2)注意到BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，推出BB1⊥AC.

又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D，故得证.

(3)分析预见当点M为棱BB1的中点时，符合题意.此时取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，证得BN⊥DC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，推出BN⊥平面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，由四边形BMON是平行四边形，得出OM⊥平面CC1D1D，得证.

试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB1//DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.

而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.

(2)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.

又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.

而MD⊂平面BB1D1D，∴MD⊥AC.

(3)当点M为棱BB1的中点时，取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．

∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.

又可证得，O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM=ON，即四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.

考点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定，四棱柱的几何特征.