Question

已知函数在上是增函数，上是减函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若时，恒成立，求实数m的取值范围；

（3）是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．

Answer

⑴；⑵；⑶

【解析】

试题分析：⑴求导数，求驻点，根据驻点函数值为0，得到的方程，进一步得到函数解析式.

⑵通过求导数、求驻点及驻点的唯一性，得到函数的最值，使

⑶构造函数，即，．

利用导数法，研究函数的单调区间，得增区间，减区间．

从而要使方程有两个相异实根，须有，得解.

试题解析：⑴

依题意得，所以，从而  2分

⑵

令，得或（舍去），所以      6分

⑶设，

即，．                           7分

又，令，得；令，得．

所以函数的增区间，减区间．

要使方程有两个相异实根，则有

，解得

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程.