Question

在实数集R上定义运算：

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若在R上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，在的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.

Answer

（I）（II）.

（III）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.

【解析】

试题分析：（I）由新定义计算即得，关键是理解“新运算”的意义；

（II）根据时，在减函数，得到对于恒成立，

即恒成立，得到.

属于常规题目，难度不大，主要是注意应用“转化与化归思想” .

（III）假定是曲线上的任意两点，如果存在互相垂直的切线，则有

.因此，只需研究是否成立即可.

试题解析：（I）由题意，              2分

            4分

（II）∵，      6分

当时，在减函数，

∴对于恒成立，即

恒成立，             8分

∵，

∴恒成立，

∴，

∴.                    9分

（III）当时，，

设是曲线上的任意两点，

∵，              11分

∴，

∴不成立.            12分

∴的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.    13分

考点：新定义，导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性