Question

已知函数.

（Ⅰ）若函数的值域为.求关于的不等式的解集；

（Ⅱ）当时，为常数，且，，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由函数的值域为，则该二次函数与轴有一个交点，即，所以，所以，则，则，化简得，解得，所以不等式的解集为.（Ⅱ）当时，，所以，而，，所以，接着利用导数求的最小值，令，则，当时，，单调增，当时，，单调减，最小值需要比较的大小，而，的最小值为.

试题解析：（Ⅰ）由值域为，当时有，即，

所以，则

则，化简得，解得

所以不等式的解集为.

（Ⅱ）当时，，所以

因为，，所以

令，则

当时，，单调增，当时，，单调减，

因为

，所以

所以的最小值为.

考点：1.函数与不等式的综合应用；2.利用导数求解函数的最值.