Question

已知函数，如果函数恰有两个不同的极值点，，且.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的最小值，并指出此时的值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为 函数恰有两个不同的极值点，，即有两个零点，，则

方程有两个不同的零点，，构造函数，求导，                         

当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以在时取得最小值．∴ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     

于是，所以，，所以．所以 当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以在上的最小值为，此时.

试题解析：（Ⅰ）∵ 函数恰有两个不同的极值点，，即有两个零点，

∴ 方程有两个不同的零点，  

令．

，

当时，，是减函数；

当时，，是增函数，

∴ 在时取得最小值．

∴ ．

（Ⅱ）∵，即，

∴

于是，

∴

∵ ，

∴ ．

∴ 当时，，是减函数；

当时，，是增函数

∴ 在上的最小值为，此时.

考点：1.函数中证明问题；3.函数与不等式的综合应用.