Question

已知梯形中，，，、分别是、上的点，，．沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图)．是的中点．

（1）当时，求证：⊥ ；

（2）当变化时，求三棱锥体积的最大值．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）当时，最大值为.

【解析】

试题分析：本题主要考查空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先作辅助线，由面面垂直的性质得平面，所以垂直于面内的线，又可以由已知证出四边形为正方形，所以，再利用线面垂直的判定证明平面，从而得；第二问，由已知，利用线面垂直的判定证明面，结合第一问的结论平面，得，设出三棱锥的高，列出体积公式，通过配方法求最大值.

试题解析：（1）证明：作，交与，连结，，        1分

∵平面平面，交线，平面，

∴平面，又平面，故．    3分

∵，，．

∴四边形为正方形，故．                    5分

又、平面，且，故平面．

又平面，故．                         6分

（2）【解析】
∵，平面平面，交线，平面．

∴面．又由（1）平面，故，  7分

∴四边形是矩形，，故以、、、为顶点的三

棱锥的高．                          9分

又．                 10分

∴三棱锥的体积

（）

当时，最大值为    12分

考点：1.线面垂直的判定；2.三棱锥的体积；3.配方法求最值.