Question

如图，四边形与均为菱形，设与相交于点，若，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）余弦值为.

【解析】

试题分析：本题主要考查线面平行、面面平行、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据菱形的定义得，，再根据线面平行的判定得，，再根据面面平行的判定得面面，从而证明；第二问，先根据已知条件得建立空间直角坐标系的最基本的条件，即两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出夹角并判断二面角为锐二面角，所以所求余弦值为正值.

试题解析：(1) 证明：因为四边形与均为菱形，

所以，.

因为，，

所以，     2分

又，，，

所以

又，

所以                4分

(2) 连接、,因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，

因为为中点.所以，

又因为为中点,且，

所以

又，所以                     .6分

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系

设，因为四边形为菱形，，

则，，，

所以        ..8分

所以设平面的一个法向量为，

则有,所以，令，则

因为，所以平面的一个法向量为    .10分

因为二面角为锐二面角，设二面角的平面角为

则

所以二面角的余弦值为                   ..12分

考点：1.线面平行的判定；2.面面平行的判定；3.空间向量法；4.夹角公式.