Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设,证明：对任意,总存在,使得.

Answer

（1）f(x)在(1,2)单调递减函数，f(x)在(2,+∞)单调递增函数；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对求导，而分子还比较复杂，所以对分子进行二次求导，导数非负，所以分子所对函数为增函数，而，所以在上，在上，所以在为负值，在上为正值，所以得出的单调性；第二问，先对已知进行转化，转化为恒成立，而，即转化为恒成立，再次转化为，通过求导判断函数的单调性，判断的正负.

试题解析：（1）       1分

设,

∴在是增函数，又                      3分

∴当时,  ,则,是单调递减函数;

当时,  ,则,是单调递增函数.

综上知：在单调递减函数，

在单调递增函数                    6分

（2）对任意，总存在,使得恒成立

等价于恒成立,而,即证恒成立.等价于,

也就是证                               8分

设,              10分

∴在单调递增函数,又

∴当时,,则

当时,,则

综上可得：对任意,总存在,

使得.                                12分

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.恒成立问题.