Question

已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令

（Ⅰ）求数列的前项和；

（Ⅱ）当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，利用等比数列的通项公式先写出数列的通项公式，利用对数的性质得到的通项公式，从而列出，它符合错位相减法，利用错位相减法求和；第二问，有题意得，讨论的正负，转化为恒成立问题，求出.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，.

∴.

.

以上两式相减得

.

∵，∴.

（Ⅱ）由.

由题意知，而，

∴.  ①

（1）若，则，，故时，不等式①成立；

（2）若，则，

不等式①成立

恒成立

.

综合（1）、（2）得的取值范围为.

考点：1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式；3.错位相减法；4.恒成立问题.