Question

已知函数．

（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，试比较与1的大小；

（3）求证：

Answer

（1）的取值范围是或；（2）①当时，，即；

②当时，，即；③当时，，即；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查函数与导数、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识和方法，考查综合运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，考查函数思想和分类讨论思想.第一问，先将代入得到解析式，因为仅有一个零点，所以和仅有一个交点，所以关键是的图像，对求导，令和判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定的位置；第二问，先将代入，得到解析式，作差法比较大小，得到新函数，判断的正负即可，通过对求导，可以看出在上是增函数且，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当时不等式成立，再假设当时不等式成立，然后利用假设的结论证明当时不等式成立即可.

试题解析：（1）当时，，定义域是，

，令，得或.

∵当或时，，当时，，

∴的极大值是，极小值是.

∵当时，，当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．    4分

（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．          8分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

．，

．                12分

(法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即 ．

时，．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立.

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值和最值；3.函数零点问题；4.数学归纳法；5.不等式的性质.