Question

如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且．

(1)求证：面平面；

(2)求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空间向量法，通过证明，其它过程与法一相同；第二问，由第一问得到平面的法向量为，而平面的法向量需要计算求出，

，所以，最后用夹角公式求夹角余弦值.

试题解析：(1)解法一：因为面面平面面

为正方形，，平面

所以平面∴                 2分

又，所以是等腰直角三角形，

且，即 ，

，且、面，

面             

又面，∴面面.          6分

解法二：

如图,

取的中点, 连结,.

∵,  ∴.

∵侧面底面,

平面平面, 

∴平面,

而分别为的中点,∴,

又是正方形,故.

∵,∴,.

以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系,

则有,,,,,.

∵为的中点, ∴                      2分

 (1)∵，，  ∴，

∴,从而,又,,

∴平面，而平面，

∴平面平面．                      6分

（2）由（1）知平面的法向量为，

设平面的法向量为，∵，

∴由，，可得

取，则故.

∴,

即二面角的余弦值为,        12分

考点：1.线面垂直；2.空间向量法；3.面面垂直；4.夹角公式.