Question

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为元/本（9≤≤11），预计一年的销售量为万本．

(1)求该出版社一年的利润（万元）与每本书的定价的函数关系式；

(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润最大，并求出的最大值.

Answer

（1）；（2）若，则当每本书定价为元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）.

【解析】

试题分析：本题是实际问题的考查，考查函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性最值.第一问，利用每本书的销售利润销售量列出表示式，在这一问中，要注意注明函数的定义域；第二问，利用导数求函数最值，先求导数，令导数为0，解出方程的根，由于这是实际问题，应考虑根必须在定义域内，讨论根是否在内，分2种情况，分别判断单调性求出最值，最后综合上述2种情况得出结论.

试题解析：（1）该出版社一年的利润（万元）与每本书定价的函数关系式为：

．     5分（定义域不写扣1分）

（2）．       6分

令得或x=20（不合题意，舍去）．    7分

， ．在两侧的值由正变负．

①当即时，

在即是增函数，在是减函数.

②当即时在上是增函数，

所以

答：若，则当每本书定价为元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）          12分

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的最值.