Question

设函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，函数在上单调递增，当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法，考查分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，先写出解析式，求，讨论参数的正负，解不等式，单调递增，单调递减；第二问，先将已知条件进行转换，等价于，所以本问考查函数的最值，对求导，令得出根，将所给定义域断开列表，判断单调性，求出最值；第三问，将问题转化为，利用第一问的结论，所以，即恒成立，即恒成立，所以本问的关键是求的最大值.

试题解析：（1），     ，

①当时，∵,，函数在上单调递增，

②当时，由得，函数的单调递增区间为

 得，函数的单调递减区间为      5分

（2）存在，使得成立

等价于：，                      7分

考察， ，

0

递减

极（最）小值

递增

由上表可知：，

，                  9分

所以满足条件的最大整数；                       10分

（3）当时，因为，对任意的，都有成立，

，即恒成立，

等价于恒成立，

记，,所以,

,∵，时,时，,

在区间上递增，在上递减.

所以                                     12分

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.利用导数求函数的最值.