Question

已知偶函数满足：当时，，当时，.

(1)求当时，的表达式；

(2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.

Answer

（1）；（2）①时，；②时，；③时，.

【解析】

试题分析：本题考查函数的奇偶性、函数解析式、函数零点问题以及等差数列的定义，考查化归与转化思想，考查计算能力.第一问，先把转化成，利用已知时的解析式，利用偶函数转化解析式；第二问，把有4个零点，先转化为与有4个交点且均匀分布，所以利用等差中项，偶函数等基础知识列出表达式，分情况进行讨论分析.

试题解析：（1）设则，，

又偶函数，

所以，.

（2）零点，与交点有4个且均匀分布，

（Ⅰ）时，    得，

所以时， ， 

（Ⅱ）且时 ，， ，

所以 时，，

（Ⅲ）时时，符合题意，

（Ⅳ）时，，，，，

此时，，所以或（舍）

且时，时存在.

综上，①时，；

②时，；

③时，符合题意.

考点：1.求函数解析式；2.函数零点问题；3.图像交点问题.