Question

如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥的体积为.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得到，再利用直线平面平行的判定定理得到平面；（2）先证明平面，利用（1）中的条件得到平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面，在证明平面的过程中，在等腰三角形中利用三线合一得到，通过证明平面得到，然后利用直线与平面垂直的判定定理即可证明平面；（3）利用题中的条件平面，在计算三棱锥的体积中，选择以点为顶点，所在平面为底面的三棱锥来计算其体积，则该三棱锥的高为，最后利用锥体的体积计算公式即可.

试题解析：（1）取的中点，连结、，

∴为的中位线，，

∵四边形为矩形，为的中点，

∴，，

∴四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

∴平面；

（2） 底面，

，，又，，

平面， 又平面， ，

直角三角形中，，

为等腰直角三角形，，

是的中点，，又，平面，

，平面，

又平面， 平面平面；

（3）三棱锥即为三棱锥，

是三棱锥的高，

中，，，

三棱锥的体积，

.

考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.等体积法求三棱锥的体积