Question

已知，数列的前项和为，点在曲线上，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的前项和为，且满足，，求数列的通项公式；

（3）求证：，.

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先根据函数的解析式，由条件“点在曲线上”上得出与之间的递推关系式，然后进行变形得到，于是得到数列为等差数列，先求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式；（2）根据（1）中的结果结合已知条件得到

，两边同时除以，得到，构造数列为等差数列，先求出数列的通项公式，然后求出，然后由与之间的关系求出数列的通项公式；（3）对数列中的项进行放缩法

，再利用累加法即可证明相应的不等式.

试题解析：（1）且，∴，

数列是等差数列，首项，公差，，

，；

（2）由，，

得，，

数列是等差数列，首项为，公差为，

∴，，当时，，

也满足上式，，；

（3），

.

考点：1.构造等差数列求通项；2.定义法求通项公式；3.放缩法证明数列不等式