Question

已知函数，（，为自然对数的底数）.

（1）当时，求的单调区间；

（2）对任意的，恒成立，求的最小值；

（3）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）函数的单调减区间为单调增区间为；（2）实数的最小值为；

（3）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）把代入函数的解析式，直接利用导数求函数在定义域上的单调区间；（2）利用参数分离法将问题中的不等式等价转化为在上恒成立，即，进而求出参数的取值范围，从而求出的最小值；（3）先利用导数求出函数在上的值域，利用导数研究函数的单调性，并求出方程的唯一根，将条件“对于任意给定的

，在总存在两个不同的，使得”转化为“函数在区间上存在唯一极值点，即，且函数在区间和区间上的值域均包含函数在区间上的值域”，从而列出相应的不等式进行求解参数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，，

由，，由，，

故的单调减区间为，单调增区间为；

（2）即对，恒成立，

令，，则，

再令，，，

在上为减函数，于是，

从而，，于是在上为增函数，，

故要恒成立，只要，即的最小值为；

（3），当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

，，，

所以，函数在上的值域为.

当时，不合题意；

当时，，，

故，，     ①

此时，当变化时，、的变化情况如下：

单调减

最小值

单调增

，，，，

所以，对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，

使得成立，当且仅当满足下列条件

，即 

令，，

，令，得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，对任意，有，

即②对任意恒成立，

由③式解得：，    ④

综合①④可知，当时，对任意给定的，

在总存在两个不同的，使得成立.

考点：1.函数的单调区间；2.不等式恒成立；3.参数分离法；4.函数值域的包含关系