Question

定义,,.

（1）比较与的大小；

（2）若，证明：；

（3）设的图象为曲线，曲线在处的切线斜率为，若，且存在实数，使得，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）根据定义求出和，进而比较出和的大小；（2）先利用定义求出和的表达式，，利用分析法将所要证明的不等式等价转化为，构造新函数，问题等价转化利用导数证明函数在区间上单调递减；（3）先利用定义求出函数的解析式，并求出相应的导数，从而得到的表达式，结合对数运算将问题等价转化为不等式在有解，结合导数对函数的极值点是否在区间进行分类讨论，确定函数在区间的最值，利用最值进行分析，从而求出参数的取值范围.

试题解析：（1）由定义知

∴,∴.

（2）

要证，只要证

∵

令，则，

当时，，∴在上单调递减.

∵  ∴，即

∴不等式成立.

（3）由题意知：，且

于是有 在上有解.

又由定义知 即

∵  ∴ ，∴,即

∴在有解.

设

①当即时，≥. 当且仅当时，

∴ 当时，   ∴

②当≤时，即≤时，在上递减，

∴.  ∴

整理得：，无解

综上所述，实数的取值范围为.

考点：1.新定义；2.利用分析法证明不等式；3.参数分离法；4.基本不等式