Question

如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.

（1）证明：平面；

（2）在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先利用三视图将几何体进行还原，证明平面，要证明垂直于平面内的两条相交直线，由正视图可以知道为等腰三角形，且为底边的中点，利用三线合一可以得到，再利用，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得到，最终利用直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到点为的中点，因此可以以、为邻边构造平行四边形，连接交于点，利用中位线证明

，再结合直线与平面平行的判定定理可以得到平面，最终利用勾股定理求的长度.

试题解析：（1）因为平面，所以，

又，所以平面，所以．

由三视图得，在中，，为中点，所以，平面；

（2）取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求．

因为为中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

连接、，四边形的对角线互相平分，

所以为平行四边形，所以，

又平面，所以在直角中，．

考点：1.直线与平面垂直；2直线与平面平行；3.勾股定理