Question

在三棱锥中，侧棱长均为，底边，，，、分别为、的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求二面角的平面角.

Answer

（1）三棱锥的体积为；（2）二面角的平面角的大小为.

【解析】

试题分析：（1）由于三棱锥的侧棱长都相等，可以得到点在平面内的射影点为的外心，而由于的三条底边满足勾股定理，可知为直角三角形的斜边，从而可以知道的中点即为直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出，并且计算出直角三角形的面积，最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积；（2）解法一是在（1）中的基础上，利用平面，得到平面平面，然后在平面内作于点，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而得到，再从点在平面内作于点，并连接，利用三垂线法得到为二面角的平面角，最后在直角三角形中计算的大小；解法二是以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角

的平面角的大小.

试题解析：（1）取的中点，连接，

易得：，，

,

.

.

又 平面，

（2）法一：作⊥，⊥于点，连接

 平面,平面,

又 平面.

∵，  ∴

又 平面，

∵，∴，

∴为二面角的平面角.

∵,,

由（Ⅰ）知，.

∴，

∴,∴，

法二：以为原点，以为轴建系，则，，

设为平面的法向量，则有

，

∴

又∵为平面的法向量，

∴,二面角的平面角为.

考点：1.三棱锥的体积；2.三垂线法求二面角；3.利用空间向量法求二面角