Question

已知函数，.

（1）若，是否存在、，使为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；

（2）若，，求在上的单调区间；

（3）已知，对，，有成立，求的取值范围.

Answer

（1）存在，如，；（2）函数的增区间为，减区间为；

（3）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）直接举例并利用定义进行验证即可；（2）将，代入函数的解析式，去绝对值符号，将函数的解析式利用分段函数的形式表示出来，然后利用导数求出函数在相应区间上的单调区间；（3）先将绝对值符号去掉，得到，并根据题中的意思将问题转化为，然后利用导数进行求解，从而求出参数的取值范围.

试题解析：（1）存在使为偶函数，证明如下：

此时：， ，为偶函数，

（注：也可以

（2），

当时，，在上为增函数，

当时，，令则，

当时，在上为减函数，

当时，在上为增函数，

综上所述：的增区间为，减区间为；

（3），

，成立。

即：

当时，为增函数或常数函数，

综上所述：.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调区间；3.全称命题与特称命题