Question

椭圆以坐标轴为对称轴，且经过点、.记其上顶点为，右顶点为.

（1）求圆心在线段上，且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程；

（2）在椭圆位于第一象限的弧上求一点，使的面积最大.

Answer

（1）圆的方程为；

（2）当点的坐标为，的面积最大.

【解析】

试题分析：（1）先将椭圆的方程为，利用待定系数法求出椭圆的方程，并求出椭圆的焦点坐标，利用圆与坐标轴相切于焦点，且圆心在线段上，从而求出圆心的坐标以及圆的半径，进而求出圆的方程；（2）法一是根据参数方程法假设点的坐标，并计算出点到线段的距离和线段的长度，然后以为底边，为的高计算的面积的代数式，并根据代数式求出的面积的最大值并确定点的坐标；法二是利用的面积取最大值时，点处的切线与线段平行，将切线与椭圆的方程联立，利用确定切线的方程，进而求出点的坐标.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，则有，解得，

故椭圆的方程为，故上顶点，右顶点，

则线段的方程为，即，

由于圆与坐标轴相切于椭圆的焦点，且椭圆的左焦点为，右焦点为，

若圆与坐标轴相切于点，则圆心在直线上，此时直线与线段无交点，

若圆与坐标轴相切于点，则圆心在直线上，联立，解得，

即圆的圆心坐标为，半径长为，

故圆的方程为；

（2）法一：设点的坐标为，且，

点到线段的距离 

，

，则，故，故，

，而，

则，

故当时，即当时，的面积取到最大值为，

此时点的坐标为；

法二：设与平行的直线为，

当此直线与椭圆相切于第一象限时，切点即所求点，

由得：①

令①中，有：，

又直线过第一象限，故，解得，

此时由①有，

代入椭圆方程，取，解得.故.

考点：1.椭圆的方程；2.圆的方程；3.三角形的面积