Question

如图示：已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点，经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点.

（1）当点在第二象限，且到准线距离为时，求；

（2）证明：.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先利用抛物线的定义求出点的坐标，然后利用直线过点和点求出直线的方程，然后将直线和抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义求出弦的长；（2）先求出曲线在点和点的切线方程，并求出两切线的交点的坐标，验证进而得到.

试题解析：（1）抛物线的方程为，则其焦点坐标为，

设点，，则有，

由于点在第二象限，则，将代入得，，解得，

故点的坐标为，故直线的方程为，变形得，

代入抛物线的方程并化简得，由韦达定理得，

；

（2）设直线的方程为，将代入抛物线的方程并化简得，

对任意恒成立，

由韦达定理得，，

将抛物线的方程化为函数解析式得，，则，

故曲线在点处的切线方程为，即，即①，

同理可知，曲线在点处的切线方程为②，

联立①②得，，故点的坐标为，，

而，

，.

考点：1.抛物线的定义；2.焦点弦长的计算；3.切线方程；4.平面向量的数量积