Question

已知函数，且在时函数取得极值.

（1）求的单调增区间；

（2）若，

（Ⅰ）证明：当时，的图象恒在的上方；

（Ⅱ）证明不等式恒成立.

Answer

（1）函数的单调增区间为和；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先利用函数在处取得极值，由求出的值，进而求出的解析式，解不等式，从而得出函数的单调增区间；（2）（Ⅰ）构造新函数，利用导数证明不等式在区间上成立，从而说明当时，的图象恒在的上方；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论证明当时，，由此得到，，，，结合累加法得到，再进行放缩得到

，从而证明.

试题解析：（1），，函数的定义域为，

由于函数在处取得极值，则，

，

解不等式，得或，

故函数的单调增区间为和；

（2）（Ⅰ）构造函数，其中，

，故函数在区间上单调递减，

则对任意，则，即，即，

即当时，的图象恒在的上方；

（Ⅱ）先证当时，，由（Ⅰ）知，当且时，，

故有，

由于，，，，

上述个不等式相加得，即，

即，由于，

上述不等式两边同时乘以得.

考点：1.函数的极值与单调区间；2.函数不等式的证明；3.累加法；4.数列不等式的证明.